Question

（理）设函数f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a为常数）．
（1）当a=2时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＞-2，且函数f（x）的最小值为2，求a的值；
（3）若a≥2，不等式f（x）≥ab²恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用绝对值的几何意义，将函数写出分段函数，即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）根据a＞-2，分类讨论，确定函数的最小值，利用函数f（x）的最小值为2，可求a的值；
（3）利用（2）的结论，问题等价于a-1≥ab²（a≥2）恒成立，构造以a为参数的函数，即可求得结论．

解答：解：（1）a=2时，f(x)=x2+|2x-2|=

x2+2x-2 x2-2x+2

，

x≥1 x＜1

，…（2分）
∴函数y=f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（-∞，1]．       …（6分）
（2）f(x)=

x2+2x-a x2-2x+a

，

x≥ a 2 x＜ a 2

，…（8分）
∵a＞-2，∴

a

2

＞-1，
当a≥2时，函数y=f（x）的最小值为f（1）=a-1=2，解得a=3符合题意；      …（10分）
当-2＜a＜2时，函数y=f（x）的最小值为f(

a

2

)=

a2

4

=2，无解；
综上，a=3．                                                        …（12分）
（3）由（2）知，当a≥2时函数y=f（x）的最小值为f（1）=a-1，
所以a-1≥ab²（a≥2）恒成立，令g（a）=a（b²-1）+1（a≥2），…（14分）
有：

b2-1≤0 2(b2-1)+1≤0

，故-

2

2

≤b≤

2

2

．                              …（16分）

点评：本题考查分段函数，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．