Question

已知

a

=(sinθ，1)，

b

=(1，cosθ)，

c

=(0，3)，-

π

2

＜θ＜

π

2

．
（1）若(4

a

-

c

)∥

b

，求θ；
（2）求|

a

+

b

|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量的线性运算和正弦函数的单调性即可求出；
（2）根据向量的模的计算公式及三角函数的运算和正弦函数的单调性即可求出．

解答：解：（1）∵4

a

-

c

=4（sinθ，1）-（0，3）=（4sinθ，1），(4

a

-

c

)∥

b

，
∴4sinθcosθ-1=0，∴sin2θ=

1

2

．
∵-

π

2

＜θ＜

π

2

，∴-π＜2θ＜π．
∴2θ=

π

6

或

5π

6

，即θ=

π

12

或

5π

12

．
（2）∵

a

+

b

=（sinθ+1，cosθ+1），
∴|

a

+

b

|=

(sinθ+1)2+(cosθ+1)2

=

3+2(sinθ+cosθ)

=

3+2 2 sin(θ+ π 4 )

，
∵-

π

2

＜θ＜

π

2

，∴-

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，∴-

2

2

＜sin(θ+

π

4

)≤1．
∴1＜3+2

2

sin(θ+

π

4

)≤3+2

2

，
∴1＜

3+2 2 sin(θ+ π 4 )

≤

2

+1，
即|

a

+

b

|∈(1，

2

+1]．

点评：熟练掌握向量的线性运算、模的计算公式及三角函数的有关运算是解题的关键．