Question

已知函数f(x)=，其中f₁(x)=-2(x-)²+1,f₂(x)=-2x+2.

(1)设y=f₂(x)(x∈［,1］)的反函数为y=g(x),a₁=1,a₂=g(a₁),…,a_n=g(a_n-1)，求数列{a_n}的通项公式，并求a_n;

(2)若x₀∈［0, ),x₁=f(x₀)，f(x₁)=x₀，求x₀.

Answer 1

解析:(1)∵x∈［,1］,?

∴f(x)=-2x+2,g(x)=1-x2.?

a₁=1,a₂=1-,a₃=1-,?

a₄=1-.?

∴a_n=1-?

=(-)⁰+(-)¹+(-)²+…+(-)^n-1??

.?

∴a_n=［1-(-)ⁿ］.?

当n→∞时，a_n→.?

(2)∵x₀∈［0, ),?

∴f(x)=-2(x-)²+1,f(x)∈［,1).?

f(x₁)=-2x₁+2=x₀得x₁=1-.         ①?

x₁=f(x₀)=-2(x₀-)²+1.              ②?

①代入②得

1-x₀2=-2(x₀-)²+1,?

4x₀²-5x₀+1=0.?

∵x₀∈［0, ),∴x₀=.