Question

【题目】在△ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x2+（x+1）p+1=0的两个实根．
（1）求角C；
（2）求实数p的取值集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意，则有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=p+1，

而 ，又A，B是△ABC的内角，

所以 ，则 ．

（2）解：在△ABC中由（1）知 ，则 ，即tanA，tanB∈（0，1），…（6分）

则关于x的方程x2+（p+1）x+1=x2+px+p+1=0在区间（0，1）上有两个实根，

设f（x）=x2+px+p+1，则函数f（x）与x轴有两个交点，且交点在（0，1）内；

又函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=﹣ ，

故其图象满足： ，

解之得： ．

所以实数p的取值集合为 ．

【解析】（1）先由根系关系得出tanA与tanB和与积，由正切的和角公式代入求值，结合A，B的范围即可计算得解A+B的值，利用三角形内角和定理即可求C的值．（2）由（1）可求A，B的取值范围，进而得方程两根的取值范围，构造函数f（x）=x2+px+p+1，则函数的两个零点均在区间（0，1）内，利用二次函数的性质构造关于p的不等式组可以求出满足条件的p的范围．
【考点精析】本题主要考查了两角和与差的正切公式的相关知识点，需要掌握两角和与差的正切公式：才能正确解答此题．