Question

16．已知函数f（x）=xe^kx-1（k≠0）．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）当k=1时，证明：对任意的x＞0都有f（x）≥lnx+x．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可
（2）把不等式问题转换为函数最值问题，只需求f（x）-lnx-x的最小值大于等于零即可．用到中间量m，用设而不求的思想．

解答 解：（1）f′（x）=（1+kx）e^kx
令f′（x）=0得x=-$\frac{1}{k}$（k≠0）
若k＞0，则当x∈（-∞，-$\frac{1}{k}$）时
f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（-$\frac{1}{k}$，+∞，）时，f′（x）＞0
函数f（x）单调递增
若k＜0，则当x∈（-∞，-$\frac{1}{k}$）时
f′（x）＞0，函数f（x）单调递增
当x∈（-$\frac{1}{k}$，+∞，）时
f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
（2）
当k=1时，f（x）-lnx-x
=xe^x-1-lnx-x
令h（x）=xe^x-1-lnx-x
∴h′（x）=$\frac{（x+1）（{e}^{x}x-1）}{x}$
令m（x）=xe^x-1
∴m′（x）=e^x（1+x）＞0
∴m（x）递增
设x=m时，h′（x）=0，则e^m=$\frac{1}{m}$，即m=-lnm
x∈（0，m）时，h′（x）＜0，h（x）递减
x∈（m，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增
∴h（x）≥h（m）=me^m-1-lnm-m=0
故对任意的x＞0都有f（x）≥lnx+x

点评 考察了利用导函数判断函数单调性，利用函数最值解决不等式恒成立问题．