Question

已知拋物线的顶点在原点，它的准线过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，拋物线与双曲线交于点P（

3

2

，

6

），求拋物线方程和双曲线方程．

Answer 1

分析：首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过P（

3

2

，

6

），求出c、p的值，进而结合双曲线的性质a²+b²=c²，求解即可．

解答：解：设拋物线方程为y²=2px（p＞0），
∵点（

3

2

，

6

）在拋物线上，∴6=2p•

3

2

，∴p=2，
∴所求拋物线方程为y²=4x．
∵双曲线左焦点在拋物线的准线x=-1上，
∴c=1，即a²+b²=1，又点（

3

2

，

6

）在双曲线上，

( 3 2 )2 a2 - 6 2 b2 =1 a2+b2=1

，解得

a2= 1 4 b2= 3 4

∴所求双曲线方程为

x2

1 4

-

y2

3 4

=1，即4x2-

4y2

3

=1

点评：本题考查了抛物线和双曲线方程的求法：待定系数法，熟练掌握圆锥曲线的性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．