分析 (1)设EF中点为M,连结AM,GM,AG,AC,设CG=1,求出AG=3,FG=EG=$\sqrt{5}$,AF=AE=2$\sqrt{2}$,AM=$\sqrt{6}$,GM=$\sqrt{3}$,从而AM⊥GM,再求出AM⊥EF,由此能证明平面GEF⊥平面AEF.
(2)如图,延长EG、DC,设交点为H,作CN⊥GH,垂足为N,连结BN,推导出∠BNC是二面角B-EG-C的平面角,由此能求出二面角B-EG-C的余弦值.
解答 证明:(1)如图,设EF中点为M,连结AM,GM,AG,AC,设CG=1
∵CG⊥面ABCD,∴CG⊥AC,
在Rt△ACG中,AG=$\sqrt{A{C}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}}$=3,
在直角梯形FBCG和EDCG中,FG=EG=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$,
在Rt△ABF和Rt△GEF中,AF=AE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$,
在等腰△AEF中,AM=$\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$=$\sqrt{6}$,
在等腰△GEF中,GM=$\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$=$\sqrt{3}$,
∴在△AMG中,AM2+GM2=AG2,∴AM⊥GM,
∵M是等腰△AEF底边中点,∴AM⊥EF,
∵GM∩EF=M,∴AM⊥平面GEF,
∵AM?平面GEF,∴平面GEF⊥平面AEF.
解:(2)如图,延长EG、DC,设交点为H,
作CN⊥GH,垂足为N,连结BN,
∵BC⊥CG,BC⊥DC,CG∩DC=C,∴BC⊥面EDH,
∵BC⊥EH,又CN⊥GH,即CN⊥EH,
∵BC∩CN=C,∴EH⊥平面BCN,
∵BC⊥DH,BC⊥EH,DH∩EH=H,∴BC⊥平面EDH,
∴BC⊥EH,又EG⊥GH,∴EG⊥平面BCN,∴EG⊥BN,
∴∠BNC是二面角B-EG-C的平面角,
∵CG=1,∴CN=$\frac{CG×CH}{GH}$=$\frac{1×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴在Rt△BCN中,BN=$\sqrt{B{C}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{4}{5}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$,
∴cos∠CNB=$\frac{CN}{BN}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{30}}{5}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$,
∴二面角B-EG-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$.
点评 本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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A. | 若a<b<0,则a2>ab>b2 | B. | 若a>b,则ac>bc | ||
C. | 若a>b,则ac2>bc2 | D. | 若a<b<0,则$\frac{b}{a}$>$\frac{a}{b}$ |
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