Question

（本小题满分14分）
已知f(x)＝x²＋bx＋c为偶函数，曲线y＝f(x)过点(2,5)，g(x)＝(x＋a)f(x)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若曲线y＝g(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；
(3)若当x＝1时，函数y＝g(x)取得极值，确定y＝g(x)的单调区间．

Answer 1

解：(1)∵f(x)为偶函数，∴b＝0.         …………………2分
又f(x)过(2,5)，∴4＋c＝5，得c＝1.
∴f(x)= x²＋1                               …………………4分
(2)又g(x)＝(x＋a)f(x)＝(x＋a)(x²＋1)＝x³＋ax²＋x＋a
由题意得g′(x)＝3x²＋2ax＋1＝0有解，
∴Δ＝4a²－12>0，得a>或a<－.            …………………9分
(3)由(1)知g′(x)＝3x²＋2ax＋1，由题意得g′(1)＝0，得a＝－2，经检验当a＝－2时，y＝g(x)取得极值符合题意，由g′(x)＝3x²－4x＋1>0，得x>1或x<，由g′(x)<0，得<x<1，
故g(x)的单调增区间为，(1，＋∞)，单调减区间为.   …………………14分

解析