Question

13．如果有穷数列a₁，a₂，…，a_n（n∈N^*）满足条件a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_k=a_n-k+1（k=1，2，…，n），我们称数列{a_n}具有“性质P”．设数列{c_n}是项数为7的具有“性质P”的数列，其中c₁，c₂，c₃，c₄为等差数列，c₁，c₂，c₁+c₂+c₃是等比数列且log${\;}_{\frac{1}{3}}$c₂=-2，则数列{c_n}的所有项之和为75．

Answer 1

分析 由对数的性质，可得c₂=9，运用等差数列和等比数列的性质，列出方程，解方程可得c₁=3，c₃=15，c₄=21，即可得到数列{c_n}的所有项及和．

解答 解：log${\;}_{\frac{1}{3}}$c₂=-2，解得c₂=9，
c₁，c₂，c₃，c₄为等差数列，
则c₁+c₃=2c₂=18，
由c₁，c₂，c₁+c₂+c₃是等比数列，可得c₂²=27c₁，
可得c₁=3，c₃=15，c₄=21，
即数列{c_n}：3，9，15，21，15，9，3．
则数列{c_n}的所有项之和为$\frac{1}{2}$×（3+21）×4×2-21=75．
故答案为：75．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的性质，考查运算能力，属于中档题．