Question

已知二次函数的图象的顶点坐标是（1，-3），且经过点P（2，0），求这个函数的解析式．

Answer 1

分析：利用待定系数法求二次函数的解析式．

解答：解：法一：设所求函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
由题意知

a+b+c=-3 4a+2b+c=0 - b 2a =1

，解得

a=3 b=-6 c=0

．
∴函数的解析式为y=3x²-6x．
法二：设所求函数的解析式为y=a（x+h）²+k（a≠0），
则顶点坐标为（-h，k），已知顶点坐标是（1，-3），
∴h=-1，k=-3，
即所求的二次函数解析式为y=a（x-1）²-3．
又∵图象经过点P（2，0），∴0=a×（2-1）²-3，
∴a=3．
∴函数的解析式为y=3（x-1）²-3，即y=3x²-6x．
法三：设所求函数的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂）（a≠0），
其中x₁、x₂是抛物线与x轴的两交点的横坐标．
已知抛物线与x轴的一个交点为P（2，0），对称轴是直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（0，0），
∴x₁=0，x₂=2．
∴所求的解析式为y=a（x-0）（x-2）．
又∵顶点为（1，-3），∴-3=a×1×（1-2），∴a=3．
∴函数的解析式为y=3x²-6x．

点评：本题主要考查二次函数解析式的求法，求二次函数的解析式通常有三种方法，要求根据不同的条件选择合适的方法．