Question

（1）求过点A（2，0）且与⊙B：（x+2）²+y²=36内切的圆的圆心的轨迹方程．
（2）设点P是（1）题中的轨迹上的动点，已知定点D（1，1），求|PD|+

3

2

|PA|的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，先得到圆B的圆心为B（-2，0），半径为6，设动圆圆心为M（x，y），切⊙B于点C，由内切两圆的性质，结合圆M的半径进行等量代换，可推出动点M到两个定点A、B的距离之和为定值6，得到所求轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆，再根据题中所给数据得到它的方程．
（2）先用圆锥曲线的统一定义，表示出P到右焦点与右准线距离的关系，求得

3

2

|PA|等于点P到右准线的距离|PN|，再结合平面几何垂线段最短的原理，进而推断出|PD|+

3

2

|PA|最小值为点D到右准线的距离，不难求得此时的距离最小值．

解答：解：（1）∵圆的方程为⊙B：（x+2）²+y²=36
∴圆心为B（-2，0），半径r=6．
设动圆圆心为M（x，y），切点为C，依题意，
∵动圆与⊙B：（x+2）²+y²=36内切
∴|BC|-|MC|=|BM|，而|BC|=6，
∴|BM|+|CM|=6．
又∵点A和C都在圆M上
∴|CM|=|AM|，可得|BM|+|AM|=6．
所以，M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其中2a=6，得a=3，
而c=2，所以b²=a²-c²=5，椭圆方程为：

x2

9

+

y2

5

=1；
（2）根据题意，定点D（1，1）在椭圆

x2

9

+

y2

5

=1内，连接PD，过P点作PN⊥l（l为右准线）于N点，
右准线方程为：x=

a2

c

，即x=

9

2

．
由圆锥曲线的统一定义可知，

|PA|

|PN|

=e=

2

3

，⇒

3

2

|PA|=|PN|．…（8分）
过点D作DG⊥l于G 点，交椭圆于Q点．
由平面几何知识，可得|PD|+

3

2

|PA|=|PD|+|PN|≥|DQ|+|QG|=|DG|=

9

2

-1=

7

2

∴|PD|+

3

2

|PA|的最小值为

7

2

．…（13分）

点评：本题借助一个特殊的轨迹为例，主要考查了椭圆的定义和简单几何性质，以及圆锥曲线的统一定义，考查了考生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．