Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（-4，0），D（0，4），设△AOB的外接圆圆心为E．
（1）问圆心E到直线CD的距离是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由；
（2）问当a取何值时，圆E与直线CD相切，并求出此时⊙E的标准方程．

Answer 1

分析：（1）圆心E到直线CD的距离为定值，理由为：由C和D的坐标，求出直线DC的方程，再由E为直角三角形AOB的外心，可得E为线段AB的中点，由A和B的坐标表示出中点E的坐标，根据点到直线的距离公式求出圆心E到直线CD的距离d，进而得到d为定值；
（2）令（1）得出的E到直线CD的距离d=r，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，从而确定出圆E的标准方程．

解答：解：（1）圆心E到直线CD的距离为定值，理由为：
∵C（-4，0），D（0，4），
∴直线CD为y=x+4，又直角三角形的外接圆的圆心E（

a

2

，

a

2

），
由题意得d=

4

2

=2

2

为定值；
（2）∵圆心E到直线CD距离为2

2

为定值，
∴只须圆E半径

2 a

2

=2

2

，解得a=4，
此时，⊙E的标准方程为（x-2）²+（y-2）²=8．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．