Question

已知函数f(x)=

x2-(a+2)x+2a

x-1

(a∈R)
（1）若a=4，求f（x）在x∈（1，+∞）上的最小值；
（2）解不等式f（x）≤0．

Answer 1

分析：（1）将a=4代入f（x），整理变形可得f（x）=（x-1）+

3

x-1

-4，由基本不等式的性质，可得（x-1）+

3

x-1

-4≥2

3

-4，即可得答案；
（2）根据题意，首先对f（x）变形可得，f（x）=

(x-2)(x-a)

x-1

，即解

(x-2)(x-a)

x-1

≤0即可，按a的取值范围的不同分5种情况讨论，可得答案．

解答：解：（1）若a=4，则f（x）=

x2-6x+8

x-1

=

[(x-1)+1]2-6(x-1)+2

x-1

=（x-1）+

3

x-1

-4，
当x∈（1，+∞），即x-1＞0时，（x-1）+

3

x-1

-4≥2

3

-4，
则f（x）在x∈（1，+∞）上的最小值为2

3

-4；
（2）f（x）=

x2-(a+2)x+2a

x-1

=

(x-2)(x-a)

x-1

，
f（x）≤0，即

(x-2)(x-a)

x-1

≤0，
进而分类讨论，
当a＜1时，由穿线法可得，其解集为x≤a或1＜x≤2，
当a=1时，f（x）=x-2，且x≠1，则其解集为x≤2且x≠1，
当1＜a＜2时，由穿线法可得，其解集为x＜1或a≤x≤2，
当a=2时，f（x）=

(x-2)2

x-1

，则其解集为x＜1，
当a＞2时，由穿线法可得，其解集为x＜1或2≤x≤a；
故不等式f（x）≤0的解集情况为：
当a＜1时，其解集为{x|x≤a或1＜x≤2}，
当a=1时，其解集为{x|x≤2且x≠1}，
当1＜a＜2时，其解集为{x|x＜1或a≤x≤2}，
当a=2时，其解集为{x|x＜1}，
当a＞2时，其解集为{x|x＜1或2≤x≤a}．

点评：本题考查分式不等式的解法，涉及基本不等式的运用与分类讨论的数学思想，解分式不等式时，注意分母不能为0．