Question

已知

a

=（sinθ，1），

b

=（1，cosθ），θ∈（-

π

2

，

π

2

）
（1）若

a

⊥

b

，求θ的值；
（2）求|

a

+

b

|的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用

a

⊥

b

?

a

•

b

=0，即可解得结论；
（2）|

a

+

b

|=

(sinθ+1)2+(1+cosθ)2

=

2(sinθ+cosθ)+3

=

2 2 sin(θ+ π 4 )+3

，由θ∈(-

π

2

，

π

2

)，得-

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，故sin(θ+

π

4

)的最大值为1，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意：

a

•

b

=sinθ+cosθ=0，…（2分）
∴

2

sin(θ+

π

4

)=0，∴θ+

π

4

=kπ，k∈Z，…（4分）∴θ=kπ-

π

4

，…（6分）
又∵θ∈(-

π

2

，

π

2

)，∴k=1，θ=-

π

4

…（7分）
（2）

a

+

b

=(sinθ+1，1+cosθ)
∴|

a

+

b

|=

(sinθ+1)2+(1+cosθ)2

=

2(sinθ+cosθ)+3

=

2 2 sin(θ+ π 4 )+3

…（10分）
又∵θ∈(-

π

2

，

π

2

)，∴-

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，
∴sin(θ+

π

4

)的最大值为1，…（12分）
∴|

a

+

b

|的最大值为

2 2 +3

=

2

+1…（14分）

点评：本题主要考查向量垂直的性质及向量求模的运算，考查三角函数求最值等知识，属于中档题．