Question

3．已知集合$A=\{x\left|{\frac{x-5}{x+1}≤0}\right.\}$，B={x|x²-2x-m＜0}．
（1）当m=3时，求（∁_RB）∩A；
（2）若A∩B={x|-1＜x＜4}，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）化简集合A，求出m=3时集合B，再根据补集与交集的定义写出运算结果；
（2）根据交集的定义，得出4是方程x²-2x-m=0，从而求出m的值．

解答 解：集合$A=\{x\left|{\frac{x-5}{x+1}≤0}\right.\}$={x|-1＜x≤5}，
B={x|x²-2x-m＜0}．
（1）当m=3时，B={x|x²-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}
∴∁_RB={x|x≤-1或x≥3}，
∴（∁_RB）∩A={x|3≤x≤5}；
（2）若A∩B={x|-1＜x＜4}，
则4是方程x²-2x-m=0的实数根，
解得m=4²-2×4=8．

点评 本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了不等式与方程的应用问题，是综合性题目．