【题目】如果无穷数列{an}满足条件:①;② 存在实数M,使得an≤M,其中n∈N*,那么我们称数列{an}为Ω数列.
(1)设数列{bn}的通项为bn=20n-2n,且是Ω数列,求M的取值范围;
(2)设{cn}是各项为正数的等比数列,Sn是其前n项和,c3=,S3=
,证明:数列{Sn}是Ω数列;
(3)设数列{dn}是各项均为正整数的Ω数列,求证:dn≤dn+1.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)证明见解析
【解析】
(1)求出数列的最大项即可得;
(2)由等比数列的基本量法求出,根据数列新定义证明即可;
(3)用反证法,假设存在正整数,使得
,由数列{dn}是各项均为正整数得
,即
.然后利用新定义归纳
,这样由
可得数列从某一项开始为负.与已知矛盾.从而证得结论.
解:(1)因为bn=20n-2n,所以,
所以当时,
;当
时,
,
所以数列{bn}的最大项是,
所以,所以M的取值范围是
.
(2)设{cn}的公比为,则
,c3=
,
整理得,解得
或
,因为
,所以
.
因为{cn}是等比数列,所以
所以
.
因为,所以数列{Sn}是Ω数列.
(3)假设存在正整数,使得
,由数列{dn}是各项均为正整数得
,即
.
因为数列{dn}是Ω数列,所以,
所以,
同理,,
依此类推,得.
因为数列{dn}是Ω数列,所以存在,
,所以当
时,
,与数列{dn}各项均为正整数矛盾,所以假设不成立,即对任意的正整数
,dn≤dn+1
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【题目】中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就,书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体,已知平面
,四边形
为正方形,
,
,若鳖臑
的外接球的体积为
,则阳马
的外接球的表面积等于______。
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【题目】已知两点分别在
轴和
轴上运动,且
,若动点
满足
.
(1)求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程;
(2)一条纵截距为2的直线与曲线C交于P,Q两点,若以PQ直径的圆恰过原点,求出直线方程.
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【题目】对任意x∈R,存在函数f(x)满足( )
A.f(cosx)=sin2xB.f(sin2x)=sinx
C.f(sinx)=sin2xD.f(sinx)=cos2x
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【题目】在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线C2的参数方程为(t为参数).
(1)求曲线C1的直角坐标方程和直线C2的普通方程;
(2)若P(1,0),直线C2与曲线C1相交于A,B两点,求|PA||PB|的值.
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【题目】在本题中,我们把具体如下性质的函数叫做区间
上的闭函数:①
的定义域和值域都是
;②
在
上是增函数或者减函数.
(1)若在区间
上是闭函数,求常数
的值;
(2)找出所有形如的函数(
都是常数),使其在区间
上是闭函数.
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【题目】现给出两个条件:①,②
,从中选出一个条件补充在下面的问题中,并以此为依据求解问题:(选出一种可行的条件解答,若两个都选,则按第一个解答计分)在
中,
分别为内角
所对的边( ).
(1)求;
(2)若,求
面积的最大值.
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【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
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【题目】已知多面体ABCDEF中,四边形ABFE为正方形,,
,G为AB的中点,
.
(1)求证:平面CDEF;
(2)求平面ACD与平面BCF所成锐二面角的余弦值.
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