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【题目】如果无穷数列{an}满足条件:①;② 存在实数M,使得anM,其中nN*,那么我们称数列{an}Ω数列.

1)设数列{bn}的通项为bn20n2n,且是Ω数列,求M的取值范围;

2)设{cn}是各项为正数的等比数列,Sn是其前n项和,c3S3,证明:数列{Sn}Ω数列;

3)设数列{dn}是各项均为正整数的Ω数列,求证:dndn1.

【答案】1;(2)证明见解析;(3)证明见解析

【解析】

1)求出数列的最大项即可得;

2)由等比数列的基本量法求出,根据数列新定义证明即可;

3)用反证法,假设存在正整数,使得,由数列{dn}是各项均为正整数得,即.然后利用新定义归纳,这样由可得数列从某一项开始为负.与已知矛盾.从而证得结论.

解:(1)因为bn20n2n,所以

所以当时,;当时,

所以数列{bn}的最大项是

所以,所以M的取值范围是.

2)设{cn}的公比为,则c3

整理得,解得,因为,所以.

因为{cn}是等比数列,所以

所以

.

因为,所以数列{Sn}Ω数列.

3)假设存在正整数,使得,由数列{dn}是各项均为正整数得,即.

因为数列{dn}Ω数列,所以

所以

同理,

依此类推,得.

因为数列{dn}Ω数列,所以存在,所以当时,,与数列{dn}各项均为正整数矛盾,所以假设不成立,即对任意的正整数dndn1

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