Question

7．已知f（x）=$\frac{-lnx}{x+1}$+$\frac{1}{x}$，证明f（x）＞$\frac{lnx}{x-1}$．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$，函数在（0，1）上单调递减，（1，+∞）单调递增，可得lnx≥$\frac{{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$，即可证明结论．

解答 证明：构造函数g（x）=lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$，则g′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{3}}$，
x∈（0，1），g′（x）＜0，x＞1，g′（x）＞0，
∴函数在（0，1）上单调递减，（1，+∞）单调递增，
∴g（x）≥g（1）=0，
∴lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$≥0，
∴lnx≥$\frac{{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$，
x∈（0，1），lnx•$\frac{2x}{{x}^{2}-1}$＜$\frac{1}{x}$，∴$\frac{-lnx}{x+1}$+$\frac{1}{x}$＞$\frac{lnx}{x-1}$，∴f（x）＞$\frac{lnx}{x-1}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查构造法的运用，属于中档题．