分析 (Ⅰ)设出C的坐标,利用AC、BC所在直线的斜率之积等于-$\frac{1}{4}$,列出方程,求出点C的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m,与椭圆方程联立,利用韦达定理,结合|MN|=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$,即可求直线l的方程.
解答 解:(Ⅰ)设C的坐标为(x,y),则
直线AC的斜率${k_{AC}}=\frac{y}{x+2}\;(x≠-2)$,
直线BC的斜率${k_{BC}}=\frac{y}{x-2}\;(x≠2)$,(2分)
由已知有$\frac{y}{x+2}×\frac{y}{x-2}=-\frac{1}{4}(x≠±2)$,化简得顶点C的轨迹方程,$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1(x≠±2)$.(5分)
(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m,M(x1,y1),N(x2,y2),
由题意$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=x+m\end{array}\right.$,解得5x2+8mx+4m2-4=0,(7分)
△=64m2-20(4m2-4)>0,解得$-\sqrt{5}<m<\sqrt{5}$(8分)
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{8}{5}m\\{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{5}\end{array}\right.$,$|MN|=\sqrt{(1+1)[{{({x_1}+{x_2})}^2}-4{x_1}{x_2}}]=\frac{{8\sqrt{2}}}{5}$(10分)
代入解得m2=1,m=±1,
∴直线l的方程为y=x±1.(12分)
点评 本题是中档题,考查点的轨迹方程的求法,考查直线与椭圆的位置关系,考查计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 充分而不必要条件 | B. | 必要而不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{{3{x^2}}}{25}-\frac{{3{y^2}}}{100}=1$ | B. | $\frac{{3{x^2}}}{100}-\frac{{3{y^2}}}{25}=1$ | ||
C. | $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$ | D. | $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1$ |
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