Question

已知a＞0，p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，q：实数x满足不等式lg（x-2）＜0的解集为R．
（Ⅰ）若a=1p且q为真命题时，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=1代入x²-4ax+3a²＜0求出p，解出q，p且q为真命题可求实数x的取值范围；
（Ⅱ）p是q的必要不充分条件，转化为

a≤2 3a≥3

，然后求实数a的取值范围．

解答：解：由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a，（2分）
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜3．（4分）
∵lg（x-2）＜0，∴2＜x＜3，
q为真时，实数x的取值范围是.2＜x＜3（6分）
若p且q为真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（8分）
（Ⅱ）因为p是q的必要不充分条件，
所以有

a≤2 3a≥3

（10分）
所以实数a的取值范围是1≤a≤2．（14分）
注：若无对区间端点的说明，扣（2分）

点评：本题考查一元二次不等式的解法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查计算能力，转化思想，是中档题．