Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x+1，．f（-x）=f（x）且f（0）=1
（1）求f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（0）=1
∴c=1
∵f（-x）=f（x）
∴ax²-bx+c=ax²+bx+c
∴b=0
∵f（x+1）-f（x）=2x+1
∴a=1
∴f（x）=x²+1
（2）由（1）可得f（x）=x²+1
∴f（x）在[-2，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数
∴x=0时，y_min=1，x=-2时，y_max=5
分析：（1）根据题意可设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）然后根据条件f（x+1）-f（x）=2x+1，．f（-x）=f（x）且f（0）=1
求出a，b，c的值即可求出f（x）的解析式．
（2）可在第一问的基础上利用一元二次函数的单调性得出f（x）在[-2，1]上的单调性然后根据单调性即可求出最大值和最小值．
点评：本题主要考察一元二次函数的解析式的求解和利用一元二次函数单调性求最值．解题的关键是要熟记一元二次函数的表达式f（x）=ax²+bx+c（a≠0）和其单调区间！