Question

【题目】已知函数，直线是曲线的一条切线．

（1）求实数a的值；

（2）若对任意的x(0，)，都有，求整数k的最大值．

Answer 1

【答案】（1）1（2）3

【解析】

（1）设出切点的坐标，利用斜率和切点在直线上列方程组，解方程组求得切点的坐标以及的值.（2）构造函数，利用导数证得当时函数的最小值大于零，当函数值的最小值小于零，由此求得点的最大整数值为.

解：（1）设切点P(m，mlnm＋am＋1)，

由f ′(x)＝lnx＋1＋a

知 f(m)＝lnm＋1＋a.

则在点P处的切线l方程为：y＝(lnm＋1＋a)x－m＋1.

若与题目中的切线重合，则必有，

解得a＝m＝1，

所以a的值为1.

（2） 令F(x)＝f(x)－k(x－1)，

则根据题意，等价于F(x)＞0对任意的正数x恒成立.

F ′(x)＝lnx＋2－k，

令F ′(x)＝0，则x＝ek－2 .

当0＜x＜ek－2 ，则F ′(x)＜0，F(x)在（0，ek－2）上单减；

当x＞ek－2 ，则F ′(x)＞0，F(x)在（ek－2，＋∞）上单增.

所以有F(x)＝F(ek－2) ＞0，即ek－2－k－1＜0.

当k＝3，容易验证，ek－2－k－1＜0；

下证：当k≥4，ek－2－k－1＞0成立.

令h(x)＝ex－2－x－1，x≥4,

则h ′(x)＝ex－2－1≥0，对任意的x≥4恒成立。

于是h(x)在[4，＋∞）上单增,

故h(x)＝h(4)＝e2－5＞0；

所以对于任意的x≥4，ex－2－x－1＞0.

综上，k的最大值为3.