Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=12，S₁₅＞0，S₁₆＜0，
（1）求公差d的取值范围；　
（2）指出S₁，S₂，…，S_n中哪一个最大？说明理由．

Answer 1

解：（1）因为S₁₅＞0，S₁₆＜0，
所以，，
又因为a₃=12，
所以a₁+2d=12，即a₁=12-2d，
代入上两式得到，
（2）因为S₁₅＞0，S₁₆＜0，
所以，，
所以15a₈＞0，8（a₈+a₉）＜0，
所以a₈＞0，a₈+a₉＜0，
所以a₉＜0
所以S₈最大．…（12分）
分析：（1）利用等差数列的前n项和公式得到，，利用等差数列的通项公式得到
以a₁+2d=12，即a₁=12-2d，联立求出d的范围．
（2）利用等差数列的前n项和公式得到，，利用等差数列的性质得到a₈＞0，a₈+a₉＜0，进一步得到S₈最大．
点评：本题考查在解决等差数列及等比数列两个特殊数列的有关问题时，常采用数列的通项公式及前n项和公式，利用基本量法来解决．