Question

(2006黄冈)如下图，正方形的边长为4，D是的中点，E是上的点，将△及△分别沿DC和EC折起，使、重合于A，且二面角A－DC－E为直二面角．

(1)求证：CD⊥DE；

(2)求AE与面DEC所成角的正弦值；

(3)求点D到平面AEC的距离．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵、重合于A， ∴AC⊥AD，AC⊥AE， 故AC⊥面ADE，∴AC⊥DE． ∵A—DC—E为直二面角， ∴过A作AF⊥CD于F，则AF⊥面CDE， 故CD为AC在面CDE上的射影，由三垂线定理的逆定理有CD⊥DE． (2)∵AF⊥面CDE，∴∠AEF为AE与面DEC所成的角， 在Rt△CAD中，AD=2，AC=4， ∴，， 又∵CD⊥DE，∴在正方形中，．故 BE=1，∴． 又∵DE⊥CD，DE⊥AC，∴DE⊥面ACD，则DE⊥AD． ∴在Rt△ADE中，AE=3， 故在Rt△AFE中，， ∴AE与面DEC所成角的正弦值为． (3)设D到面AEC的距离为d，则由有 ，∴． 故，即点D到平面AEC的距离为．