Question

（2013•海口二模）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是A′，B′，若四边形AA′B′B的面积为48，则抛物线的方程为

y2=2

2

x

．

Answer 1

分析：设出直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理计算|AB|，结合抛物线的定义及四边形的面积，即可求得抛物线的标准方程．

解答：解：由题意，设直线方程为y=

3

3

(x-

p

2

)，代入y²=2px，
整理可得x2-7px+

p2

4

=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=7p，x₁x₂=

p2

4

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=4

3

p
∴|AB|=

2

|x₁-x₂|=4

6

p
∵四边形AA′B′B的面积为48，
∴

|AA′|+|BB′|

2

×

|AB|

2

=48
∴

(4 6 p)2

4

=48
∴p=

2

∴抛物线的方程为y2=2

2

x
故答案为：y2=2

2

x

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义与标准方程，考查学生的计算能力，属于中档题．