Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx）•cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当x$∈[0，\frac{7π}{24}]$时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简函数f（x），根据三角函数的单调性求出函数f（x）的递增区间，
再根据三角函数的图象与性质求出f（x）在x∈[0，$\frac{7π}{24}$]的值域．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx）•cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\sqrt{2}$（sinxcosx+cos²x）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\sqrt{2}$（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$…（1分）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{4}$）；…（2分）
（1）当-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z时，函数f（x）单调递增，…（4分）
∴-$\frac{3π}{4}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的递增区间为[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z；…（6分）
（2）当x∈[0，$\frac{7π}{24}$]时，2x∈[0，$\frac{7π}{12}$]，
2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]，
sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]；…（8分）
∴f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1]，…（10分）
即函数f（x）的值域为[$\frac{1}{2}$，1]．   …（12分）

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是基础题目．