Question

11．已知：命题p：|a-1|＜6；命题q：A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅．求使命题p∨q为真，p∧q为假时实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别化简命题p、q，由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得：p与q必然一真一假．即可得出．

解答 解：对于命题p：由：|a-1|＜6解得-5＜a＜7；
对于q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，且A∩B=∅．
当△＜0时，A=∅，此时△=（a+2）²-4＜0，-4＜a＜0；
当△≥0时，由A∩B=∅得$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-（a+2）＜0}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a≥0或a≤-4}\\{a＞-2}\end{array}\right.$，解得a≥0．
综上可得，a＞-4；
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴p与q必然一真一假．
当p真q假时，得$\left\{\begin{array}{l}{-5＜a＜7}\\{a≤-4}\end{array}\right.$，解得-5＜a≤-4．
当q真p假时，得$\left\{\begin{array}{l}{a＞-4}\\{a≥7或a≤-5}\end{array}\right.$，解得a≥7，
综上-5＜a≤-4或a≥7．
综上可得：实数a的取值范围是（-5，-4]∪[7，+∞）．

点评 本题主要考查复合命题之间的关系，求出命题的等价条件，结合复合命题真假之间是关系是解决本题的关键．