设函数f(x)=a2lnx-x2+ax,a≠0;
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若f(1)≥e-1,求使f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立的实数a的值.
(注:e为自然对数的底数)
解:(Ⅰ)因为f(x)=a
2lnx-x
2+ax,其中x>0,
所以f′(x)=

-2x+a=-

.
当a>0时,由f′(x)>0,得0<x<a,∴f(x)的增区间为(0,a);
当a<0时,由f′(x)>0,得

,∴f(x)的增区间为(0,-

);
(Ⅱ)由 f(1)=a-1≥e-1,即a≥e.①
由(Ⅰ)知f(x)在[1,e]内单调递增,要使f(x)≤e
2对x∈[1,e]恒成立,只要f(e)≤e
2,则 a
2lne-e
2+ae≤e
2,
∴a
2+ae-2e
2≤0,
∴(a+2e)(a-e)≤0,∴a≤e,②
综①②得a=e
分析:(Ⅰ)求导函数,再分类讨论,由f′(x)>0,可确定f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)由 f(1)=a-1≥e-1,即a≥e,再根据f(x)在[1,e]内单调递增,要使f(x)≤e
2对x∈[1,e]恒成立,只要f(e)≤e
2,则 a
2lne-e
2+ae≤e
2,由此可得结论.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查恒成立问题,解题的关键是确定函数的最大值.