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    已知函数f（x）=lnx，g（x）=（m+1）x2-x（m≠-1）．
    （I）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线，求实数m的值和P的坐标；
    （II）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点M、N，求实数m的取值范围；
    （III）在（II）的条件下，过线段MN的中点作x轴的垂线分别与f（x）的图象和g（x）的图象交于S、T点，以S点为切点
    作f（x）的切线l1，以T为切点作g（x）的切线l2，是否存在实数m，使得l1∥l2？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．
    （I）设函数y=f（x）与y=g（x）图象的公共点为P（x0，y0），
    则有lnx0=（m+1）x02-x0①，
    又在点P处有共同的切线，
    ∴f′(x0)=g′(x0)?
    1
    x0
    =2(m+1)x0-1?m=
    1+x0
    2
    x20
    -1    ，②
    ②代入①，得lnx0=
    1
    2
    -
    1
    2
    x0    ．
    设h(x)=lnx-
    1
    2
    +
    1
    2
    x?h′(x)=
    1
    x
    +
    1
    2
    ＞0(x＞0)    ．
    所以，函数h（x）最多只有1个零点，
    观察得x0=1是零点，故m=0．
    此时，点P（1，0）；
    （II）根据（I）知，当m=0时，两条曲线切于点P（1，0），
    此时，变化的y=g（x）的图象的对称轴是x=
    1
    2
    ，
    而y=f（x）是固定不变的，如果继续让对称轴向右移动，
    即x=
    1
    2(m+1)
    ＞
    1
    2
    ，解得-1＜m＜0．两条曲线有两个不同的交点，
    当m＜-1时，开口向下，只有一个交点，显然不合题意，
    所以，有-1＜m＜0；

    （III）假设存在这样的m，不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），且x1＞x2，
    则MN中点的坐标为(
    x1+x2
    2
    ，
    y1+y2
    2
    )    ．
    以S为切线的切线l1的斜率ks=f′(
    x1+x2
    2
    )=
    2
    x1+x2
    ，
    以T为切点的切线l2的斜率kT=g′(
    x1+x2
    2
    )=(m+1)(x1+x2)-1    ．
    如果存在m，使得ks=kT，
    即
    2
    x1+x2
    =(m+1)(x1+x2)-1    ．③
    而且有lnx1=（m+1）x12-x1和lnx2=（m+1）x22-x2．
    如果将③的两边同乘以x1-x2，得
    ④
    2(x1-x2)
    x1+x2
    =(m+1)(
    x21
    -
    x22
    )-(x1-x2)    ，
    即
    2(x1-x2)
    x1+x2
    =[(m+1)
    x21
    -x1]-[(m+1)
    x22
    -x2]=lnx1-lnx2=ln
    x1
    x2
    ，
    也就是ln
    x1
    x2
    =
    2(
    x1
    x2
    -1)
    x1
    x2
    +1
    ．
    设μ=
    x1
    x2
    ＞1    ，则有lnμ=
    2(μ-1)
    1+μ
    (μ＞1)    ．
    令h(μ)=lnμ-
    2(μ-1)
    1+μ
    （μ＞1），则h′(μ)=
    1
    μ
    -
    4
    (1+μ)2
    =
    (μ-1)2
    μ(1+μ)2
    ．
    ∵μ＞1，∴h'（μ）＞0．
    因此，h（μ）在[1，+∞]上单调递增，故h（μ）＞h（1）=0．
    ∴lnμ＞
    2(μ-1)
    1+μ
    (μ＞1)    ⑤
    ∴④与⑤矛盾．
    所以，不存在实数m使得l1∥l2．
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    2(x-1)
    x+1
    恒成立；
    （3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函数f（x）图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x0=
    x1+x2
    2
    时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

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    已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{
    1
    f(n)
    }的前n项和为Sn，则S2012的值为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=xlnx
    （Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
    （Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    		3
    x
    a
    +
    		3
    (a-1)
    x
    ，a≠0且a≠1．
    （1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
    （2）已知当x＞0时，函数在（0，
    		6
    ）上单调递减，在（
    		6
    ，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
    （3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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