分析 (1)由a1=5,且$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}$(n≥2,n∈N*).分别令n=2,3,4,即可得出.
(2)设数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n项和为Sn,利用递推关系可得:$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}-\frac{2}{{{a_{n-1}}}}$,得$\frac{3}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}$即$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{3}({n≥3})$,再利用等比数列的通项公式即可得出.
(3)${b_n}=\frac{a_n}{{11-2{a_n}}}=\left\{\begin{array}{l}5({n=1})\\ \frac{{10•{{({\frac{2}{3}})}^{n-2}}}}{{11-20•{{({\frac{2}{3}})}^{n-2}}}}({n≥2})\end{array}\right.$,变形利用单调性即可得出.
解答 解:(1)∵a1=5,且$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}$(n≥2,n∈N*).
分别令n=2,3,4,可得:
${a_2}=10,{a_3}=\frac{20}{3},{a_4}=\frac{40}{9}$.
(2)设数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n项和为Sn,则${S_{n-1}}=\frac{2}{a_n}({n≥2}),{S_{n-2}}=\frac{2}{{{a_{n-1}}}}({n≥3})$,
∴$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}-\frac{2}{{{a_{n-1}}}}$,得$\frac{3}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}$即$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{3}({n≥3})$,
∴{an}从第二项起成等比数列,又a2=10,
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}5({n=1})\\ 10•{({\frac{2}{3}})^{n-2}}({n≥2})\end{array}\right.$.
(3)${b_n}=\frac{a_n}{{11-2{a_n}}}=\left\{\begin{array}{l}5({n=1})\\ \frac{{10•{{({\frac{2}{3}})}^{n-2}}}}{{11-20•{{({\frac{2}{3}})}^{n-2}}}}({n≥2})\end{array}\right.$,
由${b_n}=\frac{{10•{{({\frac{2}{3}})}^{n-2}}}}{{11-20•{{({\frac{2}{3}})}^{n-2}}}}({n≥2})$,
得${b_n}=\frac{10}{{11•{{({\frac{3}{2}})}^{n-2}}-20}}({n≥2})$,
所以当n=3时,${({b_n})_{min}}=-\frac{20}{7}$,
当n=4时${({b_n})_{max}}=\frac{40}{19}$,
但${b_1}=5>\frac{40}{19}$,
综上所述,${({b_n})_{min}}={b_3}=-\frac{20}{7}$,(bn)max=b1=5.
点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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