Question

6．数列{a_n}满足a₁=5，且$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}$（n≥2，n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）令b_n=$\frac{a_n}{{11-2{a_n}}}$，求数列{b_n}的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由a₁=5，且$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}$（n≥2，n∈N^*）．分别令n=2，3，4，即可得出．
（2）设数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n项和为S_n，利用递推关系可得：$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}-\frac{2}{{{a_{n-1}}}}$，得$\frac{3}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}$即$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{3}（{n≥3}）$，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（3）${b_n}=\frac{a_n}{{11-2{a_n}}}=\left\{\begin{array}{l}5（{n=1}）\\ \frac{{10•{{（{\frac{2}{3}}）}^{n-2}}}}{{11-20•{{（{\frac{2}{3}}）}^{n-2}}}}（{n≥2}）\end{array}\right.$，变形利用单调性即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=5，且$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}$（n≥2，n∈N^*）．
分别令n=2，3，4，可得：
${a_2}=10，{a_3}=\frac{20}{3}，{a_4}=\frac{40}{9}$．
（2）设数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n项和为S_n，则${S_{n-1}}=\frac{2}{a_n}（{n≥2}），{S_{n-2}}=\frac{2}{{{a_{n-1}}}}（{n≥3}）$，
∴$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}-\frac{2}{{{a_{n-1}}}}$，得$\frac{3}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}$即$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{3}（{n≥3}）$，
∴{a_n}从第二项起成等比数列，又a₂=10，
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}5（{n=1}）\\ 10•{（{\frac{2}{3}}）^{n-2}}（{n≥2}）\end{array}\right.$．
（3）${b_n}=\frac{a_n}{{11-2{a_n}}}=\left\{\begin{array}{l}5（{n=1}）\\ \frac{{10•{{（{\frac{2}{3}}）}^{n-2}}}}{{11-20•{{（{\frac{2}{3}}）}^{n-2}}}}（{n≥2}）\end{array}\right.$，
由${b_n}=\frac{{10•{{（{\frac{2}{3}}）}^{n-2}}}}{{11-20•{{（{\frac{2}{3}}）}^{n-2}}}}（{n≥2}）$，
得${b_n}=\frac{10}{{11•{{（{\frac{3}{2}}）}^{n-2}}-20}}（{n≥2}）$，
所以当n=3时，${（{b_n}）_{min}}=-\frac{20}{7}$，
当n=4时${（{b_n}）_{max}}=\frac{40}{19}$，
但${b_1}=5＞\frac{40}{19}$，
综上所述，${（{b_n}）_{min}}={b_3}=-\frac{20}{7}$，（b_n）_max=b₁=5．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．