Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b．其中a，b∈R．
（1）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式；
（2）在（1）的条件下求b的最大值；
（3）若b=0时，函数h（x）=f（x）+g（x）-（2a+6）x在（0，4）上为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设公共点（x₀，y₀），根据题意得到，f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），解出b关于a的函数关系式；
（2）令b'（a）=0，得a=e

1

3

，经过判断当a=e

1

3

时，b（a）为极大值，即b的最大值；
（3）根据已知h（x）为单调函数，则h′（x）≥0或h′（x）≤0，解出a的取值范围即可．

解答：解：（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同．
f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

．
由题意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）
即

1 2 x 2 0 +2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

，
解得x₀=a或x₀=-3a（舍去），
b=

5a2

2

-3a²lna（a＞0）
（2）b'（a）=5a-6alna-3a=2a（1-3lna）．
令b'（a）=0，则a=e

1

3

，当a变化时，b'（a）及b（a）的变化情况如下表：
所以，a=e

1

3

时，b（a）有最大值

3

2

e

2

3

．
（3）h（x）=

1

2

x²+3a²lnx-6x，h′（x）=x+

3a2

x

-6
要使h（x）在（0，4）上单调，
须h′（x）=x+

3a2

x

-6≤0或h′（x）=x+

3a2

x

-6≥0在（0，4）上恒成立．
h′（x）=x+

3a2

x

-6≤0在（0，4）上恒成立
?3a²≤-x²+6x在（0，4）上恒成立．
而-x²+6x＞0，且-x²+6x可为足够小的正数，必有a=0
或h′（x）=x+

3a2

x

-6≥0在（0，4）上恒成立
?3a²≥（-x²+6x）_max=9，得a≥

3

或a≤-

3

．
综上，所求a的取值范围为a≥

3

或a≤-

3

或a=0．

点评：本题主要考查函数的单调性、极值、最值等函数的基础知识，是一道关于函数的综合题，应熟练掌握其求解的方法步骤．