Question

设 P（x，y），Q（x′，y′） 是椭圆 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的两点，则下列四个结论：①a²+b²≥（x+y）²；②

1

x2

+

1

y2

≥(

1

a

+

1

b

)2；③

a2

x2

+

b2

y2

≥4；④

xx′

a2

+

yy′

b2

≤1．其中正确的个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：由于点在椭圆上，则点的坐标满足椭圆的方程．
①用（

x2

a2

+

y2

b2

）（a²+b²）替换（a²+b²），
②用（

x2

a2

+

y2

b2

）（

1

x2

+

1

y2

）替换（

1

x2

+

1

y2

），再根据柯西不等式（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²可得；
③由椭圆的参数方程可求证；
④利用椭圆的有界性来做．

解答：解：由于 P（x，y）是椭圆 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的点，则

x2

a2

+

y2

b2

=1，
①（a²+b²）=（a²+b²）(

x2

a2

+

y2

b2

)≥（x+y）²，故①正确；
②(

1

x2

+

1

y2

)(

x2

a2

+

y2

b2

)≥(

1

a

+

1

b

)2，故②也正确；
③由椭圆的参数方程知

a2

x2

+

b2

y2

=

1

sin2x

+

1

cos2x

=

1

sin2x•cos2x

=

4

sin22x

，显然③也正确；
④由于Q（x′，y′） 是椭圆 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的点．
依据椭圆的有界性知xx′≤a²，yy′≤b²，故

xx′

a2

+

yy′

b2

≤1，故④也正确．
故答案选D．

点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，同时考查了不等式，我们可以根据不等式的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．