Question

已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）过椭圆C₁的左顶点A做直线m，与圆O相交于两点R、S，若△ORS是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围．

Answer 1

解：（1）由；（2分）
由直线
所以椭圆的方程是．（4分）
（2）由条件，知|MF₂|=|MP|．即动点M到定点F₂的距离等于它到直线l₁：x=-1的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C₂的方程是y²=4x． （8分）
（3）由（1），得圆O的方程是
设
得（10分）
则；
由．①（12分）
因为=
所以．②（13分）
由A、R、S三点不共线，知k≠0． ③
由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是（14分）
（注：其它解法相应给分）
分析：（1）先由离心率为 ，求出a，b，c的关系，再利用直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切，求出b即可求椭圆C₁的方程；
（2）把题中条件转化为动点M的轨迹是以l₁：x=-1为准线，F₂为焦点的抛物线，即可求点M的轨迹C₂的方程；
（3）先设出点R，S的坐标，利用△ORS是钝角三角形，求得，从而求出斜率k的取值范围．
点评：本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．