Question

已知

a

=（cosx+sinx，sinx），

b

=（cosx+sinx，-2sinx），且f（x）=

a

.

b

（1）求f（x）的解析式，并用f（x）=Asin（wx+φ）的形式表示；
（2）求方程f（x）=1的解．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，两角和与差的正弦函数，倍角公式，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
（1）由

a

=（cosx+sinx，sinx），

b

=（cosx+sinx，-2sinx），根据平面向量的数量积运算公式，我们易得到f（x）=

a

.

b

的解析式，结合倍角公式及辅助角公式，我们易将其化为正弦型函数的形式．
（2）由（1）的结论，我们可在得到一个三角方程，解三角方程即可得到结论．

解答：解：（1）f（x）=

a

.

b

=（cosx+sinx，sinx）．（cosx+sinx，-2sinx）
=（cosx+sinx）²-2sin²x（4分）
=cos²x+2sinxcosx-sin²x=cos2x+sin2x
=

2

sin（2x+

π

4

）（8分）
（2）由f（x）=1得

2

sin（2x+

π

4

）=1
sin（2x+

π

4

）=

2

2

（9分）
∴2x+

π

4

=

π

4

+2kπ（K∈Z）（10分）
或2x+

π

4

=

3π

4

+2kπ（K∈Z）（11分）
所以方程的解为．{x|x=kπ或x=

π

4

+kπ，K∈Z}（12分）

点评：在三角函数中，我们常用辅助角公式asinα+bcosα=

a2+b2

sin（α+φ），将三角函数的表达式化为正弦型函数的形式．