分析 (1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=($\sqrt{2}+{a}^{2}$)sin(x+$\frac{π}{4}$),由x+$\frac{π}{4}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$,2kπ+$\frac{π}{2}$](k∈Z)且$sin(\frac{π}{2}-x)=cosx≠0$,即可解得f(x)的单调递增区间.
(2)当x∈[0,$\frac{5π}{12}$]时,可求x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$,$\frac{2π}{3}$],从而可求f(x)最小值为$(\sqrt{2}+{a^2})×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a^2}$,
由已知得$1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a^2}$=$1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,即可得解.
解答 (本题满分为12分)
解:$f(x)=\frac{1+cos2x}{{2sin(\frac{π}{2}-x)}}+sinx+{a^2}sin(x+\frac{π}{4})$
=$\frac{2co{s}^{2}x}{2cosx}$+sinx+a2sin(x+$\frac{π}{4}$)
=$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)+a2sin(x+$\frac{π}{4}$)
=($\sqrt{2}+{a}^{2}$)sin(x+$\frac{π}{4}$),…(5分)
(1)由x+$\frac{π}{4}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$,2kπ+$\frac{π}{2}$](k∈Z)得:x∈[2kπ-$\frac{3π}{4}$,2kπ+$\frac{π}{4}$](k∈Z),
∵$sin(\frac{π}{2}-x)=cosx≠0$,
∴$x≠kπ+\frac{π}{2}(k∈z)$,
∴函数y=f(x)的单调递增区间是:[2kπ-$\frac{3π}{4}$,2kπ-$\frac{π}{2}$),( 2kπ-$\frac{π}{2}$,2kπ+$\frac{π}{4}$](k∈Z).…(9分)
(2)当x∈[0,$\frac{5π}{12}$]时,x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$,$\frac{2π}{3}$],
∴当x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$时,函数y=f(x)取得最小值为$(\sqrt{2}+{a^2})×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a^2}$,
∴由已知得$1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a^2}$=$1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,
∴a=±1.…(12分)
点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质,三角函数化简求值,三角函数恒等变换的应用,考查了数形结合思想和计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -$\frac{π}{6}$ | B. | -$\frac{π}{3}$ | C. | -$\frac{π}{4}$ | D. | -$\frac{3}{4}$π |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{\sqrt{5}}{3}$ | C. | -$\frac{\sqrt{5}}{3}$ | D. | ±$\frac{\sqrt{5}}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | 8 | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{1}{8}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | {x|2≤x<3} | B. | {x|2<x<3} | C. | {x|x≥3} | D. | {x|2<x≤3} |
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