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11、定义在R上的函数f(x)既是奇函数,又是周期函数,T是它的一个正周期.若将方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数记为n,则n可能为(  )
分析:分别分析(0,T)和(-T,0)函数的根的数量.
解答:解:∵T是f(x)的一个正周期
∴-T、0、T是f(x)=0的根,若在(0,T)上没有根,则恒有f(x)>0或f(x)<0;
不妨设f(x)>0,则x∈(-T,0)时,f(x)<0,但又有f(x)=f(x+T)>0,矛盾.
∴f(x)=0在(0,T)上至少还有一个根.
同理,在(-T,0)上也至少还有一个根,
∴至少有5个根.
故选D
点评:本题主要考查函数的奇偶性.在本题中注意推论的严密性.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,
π
2
]时,f(x)=sinx,则f(
3
)的值为
 

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20、已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数,函数f(x)在x=-1处取极值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)讨论f(x)在区间[-3,3]上的单调性.

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定义在R上的函数f(x)满足:f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
,当x∈(0,4)时,f(x)=x2-1,则f(2010)=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义在R上的函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤
π
2
),最大值与最小值的差为4,相邻两个最低点之间距离为π,函数y=sin(2x+
π
3
)图象所有对称中心都在f(x)图象的对称轴上.
(1)求f(x)的表达式;    
(2)若f(
x0
2
)=
3
2
(x0∈[-
π
2
π
2
]),求cos(x0-
π
3
)的值.

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已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x 0 1 2 3
f(x) 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函数f(x)一定存在零点的区间是(  )

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