Question

3．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥平面ABC，
（1）求证：OD∥平面PAB；
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 法一：（1）要证OD∥平面PAB，只需证明平面PAB内直线PA与OD平行，就是OD∥PA，即可证明OD∥平面PAB；
（2）由（1）可得直线PA与平面PBC所成角，即直线OD与平面PBC所成角，首先利用三垂线定理作出直线OD与平面PBC所成角，就是取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，连接DF，得到OF⊥平面PBC，然后解三角形求出角即可；
法二：距离空间直角坐标系，利用共线向量证明（1）；利用向量的数量积求解（2）．

解答 解：方法一：
（1）∵O、D分别为AC、PC中点，
∴OD∥PA又PA?平面PAB
∴OD∥平面PAB

（2）∵OD∥PA，
∴直线PA与平面PBC所成角，即直线OD与平面PBC所成角，
∵AB⊥BC，OA=OC，
∴OA=OB=OC，
又∵OP⊥平面ABC，
∴PA=PB=PC．
取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC
∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．
可设PA=2，AB=BC=1，PO=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，EO=$\frac{1}{2}$，PE=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
OD=1，OF=$\frac{PO•EO}{PE}$=$\frac{\sqrt{14}}{2\sqrt{15}}$，
在Rt△ODF中，sin∠ODF=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{\sqrt{210}}{30}$，
∴OD与平面PBC所成的角的正弦值为：$\frac{\sqrt{210}}{30}$．
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值$\frac{\sqrt{210}}{30}$；
方法二：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．
以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图），设AB=a，则A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0），B（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），C（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0）
设OP=h，则P（0，0，h）．

（1）∵D为PC的中点，
∴$\overrightarrow{OD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，0，$\frac{1}{2}$h），又$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，-h），
∴$\overrightarrow{OD}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PA}$．
∴$\overrightarrow{OD}$∥$\overrightarrow{PA}$．
∴OD∥平面PAB．
（2）∵PA=2a，
∴h=$\sqrt{\frac{7}{2}}$a，
∴$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，-$\sqrt{\frac{7}{2}}$a），
可求得平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（-1，1，$\sqrt{\frac{1}{7}}$），
∴|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{\left|\overrightarrow{PA}\right|•\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{\sqrt{210}}{30}$．
设OD与平面PBC所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{210}}{30}$．
∴AP与平面PBC所成的角的正弦值为：$\frac{\sqrt{210}}{30}$．

点评 本题考查直线与平面平行，直线与平面所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题