Question

（2013•宁德模拟）若函数f（x）对于任意x∈[a，b]，恒有|f（x）-f（a）-

f(b)-f(a)

b-a

（x-a）|≤T（T为常数）成立，则称函数f（x）在[a，b]上具有“T级线性逼近”．下列函数中：
①f（x）=2x+1；
②f（x）=x²；
③f（x）=

1

x

；
④f（x）=x³．
则在区间[1，2]上具有“

1

4

级线性逼近”的函数的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据称函数f（x）在[a，b]上具有“T级线性逼近”的定义，判断各个选项中的函数在区间[1，2]上是否满足“

1

4

级线性逼近”的定义，从而得出结论．

解答：解：f（x）=2x+1在区间[1，2]上，由于|f（x）-f（1）-

f(2)-f(1)

2-1

（x-1）|=|0|≤

1

4

，故f（x）=2x+1在区间[1，2]上具有“

1

4

级线性逼近”，故满足条件．
f（x）=x² 在区间[1，2]上，由于|f（x）-f（1）-

f(2)-f(1)

2-1

（x-1）|=|（x-1）（x-2）|=-（x-1）（x-2）≤

1

4

，
故f（x）=x²在区间[1，2]上具有“

1

4

级线性逼近”，故满足条件．
f（x）=

1

x

在区间[1，2]上，由于|f（x）-f（1）-

f(2)-f(1)

2-1

（x-1）|=|

1

x

+

x

2

-

3

2

|=

3

2

-（

1

x

+

x

2

）≤

3

2

-2

1 2

=

3

2

-

2

≤

1

4

，
故f（x）=2x+1在区间[1，2]上具有“

1

4

级线性逼近”，故满足条件．
f（x）=x³在区间[1，2]上，由于|f（x）-f（1）-

f(2)-f(1)

2-1

（x-1）|=|x³-7x+6|=|（x-1）（x-3）（x+2）|=-（x-1）（x-3）（x+2），
由于-（x³-7x+6）的导数为-3x²+7，令-3x²+7=0 可得 x=

7 3

，在[1，

7 3

]上，3x²-7＜0，-（x-1）（x-3）（x+2）为增函数，
同理可得在[

7 3

，2]上，-（x-1）（x-3）（x+2）为减函数，故-（x-1）（x-3）（x+2）的最大值为 （

7 3

-1）（3-

7 3

）（

7 3

+2）＞

1

4

，
故不满足“

1

4

级线性逼近”，故不满足条件．
故选C．

点评：本题主要考查新定义：“T级线性逼近”的定义，不等式的性质应用，式子的变形是解题的难点，属于中档题．