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如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC-ABC中,侧面AACC⊥底面ABC

AAC=60°.(Ⅰ)求侧棱AA与平面ABC所成角的正弦值的大小;

(Ⅱ)已知点D满足,在直线AA上是否存在点P,使DP∥平面ABC?若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.

(Ⅰ)   (Ⅱ) 略


解析:

(Ⅰ)∵侧面A1ACC1⊥底面ABC,作A1OAC于点O

A1O⊥平面ABC.又∠ABC=∠A1AC=60°,且各棱长都相等,

∴AO=1,OA1=OB=,BO⊥AC.………………2分

故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则

A(0,-1,0),B(,0,0),A1(0,0,),C(0,1,0),

.…………………4分

设平面AB1C的法向量为n=(x,y,1)

解得n=(-1,0,1).………6分

由cos<>=

而侧棱AA1与平面AB1C所成角,即是向量与平面AB1C的法向量所成锐角的余角,

∴侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小为………6分

(Ⅱ)∵。…8分

又∵B(,0,0),∴点D的坐标为D(-,0,0).

假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为P(0,y,z).

DP∥平面AB1C,n=(-1,0,1)为平面AB1C的法向量,

∴由,得……11分

DP平面AB1C

故存在点P,使DP∥平面AB1C,其从标为(0,0,),即恰好为A1点.………12分

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A1ACC1⊥底面ABC,∠A1AC=60°.
(Ⅰ)求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小;
(Ⅱ)已知点D满足
BD
=
BA
+
BC
,在直线AA1上是否存在点P,使DP∥平面AB1C?若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.

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如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC-ABC中,侧面AACC⊥底面ABC,∠AAC=60°.

(Ⅰ)求侧棱AA与平面ABC所成角的正弦值的大小;

(Ⅱ)已知点D满足,在直线AA上是否存在点P,使DP∥平面ABC?若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.

 

 

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科目:高中数学 来源:2013届山东省高二12月份月考理科数学试卷 题型:解答题

如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC-ABC中,侧面AACC⊥底面ABC,∠AAC=60°.

(Ⅰ)求侧棱AA与平面ABC所成角的正弦值的大小;

(Ⅱ)已知点D满足,在直线AA上是否存在点P,使DP∥平面ABC?若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.

 

 

 

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在底面ABC内的射影O恰为线段AC的中点.

   (Ⅰ)求侧棱AA1与平面A1BC所成角的正弦值;

   (Ⅱ)已知点D为点B关于点O的对称点,在直线AA1上是否存在点P,使DP∥平面AB1C?若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.

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