Question

已知点H（0，-3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（I）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动点M的轨迹为C，如果过定点A（x₀，y₀）的直线与曲线C相交不同的两点S、R，求证：曲线C在S、R两点处的切线的交点在一条定直线上．

Answer 1

（I）设P（a，0），Q（0，b）（b＞0），
∵点M在直线PQ上，

HP

•

PM

=0，
∴

HP

•

PQ

=(a，3)•(-a，b)=-a2+3b=0，
∴a²=3b，

设M(x，y)，由 PM =- 3 2 MQ 得， (x-a，y)-= 3 2 (-x，-y+b)

∴

x-a= 3 2 x y= 3 2 (y-b)

∴

a= 1 2 x b= 1 3 y(b＞0)

∴y=

1

4

x2(x≠0)
点M的轨迹方程为y=

1

4

x2(x≠0)．
（II）解法一：设S(x1，

1

4

x

21

)，R(x2，

1

4

x

22

)(x1≠x2)，
则直线SR的方程为：y-

1

4

x

21

=

1 4 x 22 - 1 4 x 21

x2-x1

(x-x1)
即y=

1

4

(x1+x2)x-

x1x2

4

．
∵A点在SR上，
∴y0=

1

4

(x1+x2)x0-

x1x2

4

①
对y=

1

4

x2求导得：y′=

1

2

x．
∴抛物线上S、R处的切线方程为：y-

1

4

x

21

=

1

2

x1(x-x1)即y=

x1x

2

-

x 21

4

②
y-

1

4

x

22

=

1

2

x2(x-x2)即y=

x2x

2

-

x 22

4

③
联立②③，并解之得

x= x1+x2 2 y= 1 4 x1x2

代入①得
y0=

x0x

2

-y，即x0x-2y-2y0=0，
故切线的交点在定直线x₀x-2y=2y₀=0上．
解法二：当过点A的直线斜率不存在时与题意不符．设直线SR的方程为y-y₀=k（x-x₀）
代入抛物线方程得x²-4kx+4x₀k-4y₀=0．
设S1(x1，

1

4

x

21

)，R(x2，

1

4

x

22

)(x1≠x2)
由韦达定理

x1+x2=4k x1x2=4(x0k-y0)

（*）
又过S，R点的切线方程分别是：y=

x1

2

x-

x 21

4

，y=

x2

2

x-

x 22

4

∴两切线的交点为

x= x1+x2 2 y= 1 4 x1x2

，
代入（*）得

x=2k y=x0k-y0

(k为参数)，
消去k，得x₀x-2y-2y₀=0
故切线的交点在定直线x₀x-2y-2y₀=0上．