Question

13．已知点M是圆（x+1）²+y²=36上任意点，点N为（1，0），点E为MN的中点．
（1）当点M在圆上运动时，求点E的轨迹C；
（2）过点F（-2，0）的直线l与曲线C交于点A，B，且|AB|=2$\sqrt{6}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用代入法，求点E的轨迹C；
（2）利用圆心到直线的距离d=$\sqrt{9-6}$=$\sqrt{3}$，建立方程，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）设E（x，y），则M（2x-1，2y），代入（x+1）²+y²=36，可得（2x）²+4y²=36，即x²+y²=9；
（2）圆心到直线的距离d=$\sqrt{9-6}$=$\sqrt{3}$，
设直线方程为y=k（x+2），即kx-y+2k=0，∴$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，∴k=$±\sqrt{3}$，
∴直线l的方程为y=$±\sqrt{3}$（x+2）．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查代入法的运用，属于中档题．