Question

有6本不同的书，按照以下要求处理，各有多少种不同的分法？
（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；
（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
（3）一人得一本，一人得二本，一人得三本；
（4）平均分给甲、乙、丙三人；
（5）平均分成三堆．

Answer 1

分析：（1）先在6本书中任取一本．作为一本一堆，有

C

1 6

种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有C

2 5

种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有C

3 3

 种取法，最后根据乘法得出共有分法C

1 6

C

2 5

C

3 3

种方法；
（2）6本不同的书分成3本、2本、1本的三堆，无序不均匀分组问题；
（3）由（1）知，分成三堆的方法有C

1 6

C

2 5

C

3 3

种，但每种分组方法又有A

3 3

种分配方法，根据乘法原理得出一人得一本，一人得二本，一人得三本的分法种数即可；
（4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有C

2 6

种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有C

2 4

种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有C

2 2

种方法，所以一共有C

2 6

C

2 4

C

2 2

种方法；
（5）平均分成三份，每份2本，这是平均分组问题．

解答：解：（1）先在6本书中任取一本．作为一本一堆，有

C

1 6

种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有C

2 5

种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有C

3 3

 种取法，故共有分法C

1 6

C

2 5

C

3 3

=60种．…（3分）
（2）由（1）知，分成三堆的方法有C

1 6

C

2 5

C

3 3

种，第每种分组方法仅对应一种分配方法，
故甲得一本，乙得两本，丙得三本的方法也为C

1 6

C

2 5

C

3 3

=60种．
（3）由（1）知，分成三堆的方法有C

1 6

C

2 5

C

3 3

种，但每种分组方法又有A

3 3

种分配方法，
故一人得一本，一人得二本，一人得三本的分法有C

1 6

C

2 5

C

3 3

A

3 3

=360种．
（4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有C

2 6

种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有C

2 4

种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有C

2 2

种方法，
所以一共有C

2 6

C

2 4

C

2 2

=90种方法．…（12分）
（5）6本不同的书平均分成三堆，有C

2 6

C

2 4

C

2 2

÷A

3 3

=15种分堆方法．

点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查计算能力，理解能力，属于基础题．