Question

如图，已知，在空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点．
（1）求证：平面CDE⊥平面ABC；
（2）若AB=DC=3，BC=5，BD=4，求几何体ABCD的体积；
（3）若G为△ADC的重心，试在线段AB上找一点F，使得GF∥平面CDE．

Answer 1

分析：（1）先证出直线AB与平面上的两条相交直线垂直，得到线面垂直，而线又在一个平面上，得到面面垂直．
（2）要求的几何体是一个三棱锥，线段CD的长是三棱锥C-ABD的高，做出对应的底面的面积，根据三棱锥的体积公式做出结果．
（3）在AB上取一点F，使AF=2FE，则可得GF∥平面CDE，取DC的中点H，连AH、EH，根据G为△ADC的重心，得到G在AH上，且AG=2GH，连FG，则FG∥EH，再说明线在平面上，得到结论．

解答：解：（1）证明：∵BC=AC，E为AB的中点，
∴AB⊥CE．
又∵AD=BD，E为AB的中点
∴AB⊥DE．
∵DE∩CE=E
∴AB⊥平面DCE
∵AB?平面ABC，
∴平面CDE⊥平面ABC．
（2）∵在△BDC中，DC=3，BC=5，BD=4，
∴CD⊥BD，
在△ADC中，DC=3，AD=BD=4，AC=BC=5，
∴CD⊥AD，
∵AD∩BD=D∴CD⊥平面ABD．所以线段CD的长
是三棱锥C-ABD的高
又在△ADB中，DE=

16- 9 4

=

55

2

∴V_C-ABD=

1

3

•

1

2

•3•

55

2

•3=

3 55

4

（3）在AB上取一点F，使AF=2FE，则可得GF∥平面CDE
取DC的中点H，连AH、EH
∵G为△ADC的重心，
∴G在AH上，且AG=2GH，连FG，则FG∥EH
又∵FG?平面CDE，EH?平面CDE，
∴GF∥平面CDE

点评：本题考查空间几何体的点线面之间的关系的证明，本题解题的关键是熟练所学的判定定理和性质定理，这里反复使用定理来解题．