Question

3．设命题p：?x₀∈（0，+∞），3^x₀+x₀=$\frac{1}{2016}$；命题q：?a，b∈（0，+∞），a+$\frac{1}{b}，b+\frac{1}{a}$中至少有一个不小于2，则下列命题为真命题的是（　　）

• A． p∧q
• B． （?p）∧q
• C． p∧（?q）
• D． （?p）∧（?q）

Answer 1

分析 构造函数判断函数的单调性，判断命题p为假命题，利用反证法判断命题q是真命题，根据复合命题真假关系进行判断即可，

解答 解：设f（x）=3^x+x-$\frac{1}{2016}$；
则f（x）在（-∞，+∞）为增函数，
∵f（0）=3⁰-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$＞0，
∴当x＞0时f（x）＞f（0）＞0；
即?x₀∈（0，+∞），3^x₀+x₀=$\frac{1}{2016}$为假命题；
假设a+$\frac{1}{b}$，b+$\frac{1}{a}$都小于2，
即a+$\frac{1}{b}$＜2，b+$\frac{1}{a}$＜2，
将两式相加，得a+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{a}$＜4，
又因为a+$\frac{1}{a}$≥2，b+$\frac{1}{b}$≥2，
两式相加，得a+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{a}$≥4，与a+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{a}$＜4，矛盾．
所以a+$\frac{1}{b}$，b+$\frac{1}{a}$至少有一个不小于2．故命题q是真命题，
则（?p）∧q为真命题，其余为假命题，
故选：B

点评 本题主要考查命题的真假判断，根据函数的性质以及利用反证法判断命题p，q的真假是解决本题的关键．