Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x）=f（2-x），且x∈[0，1]，f（x）=x³，以下命题中：
①f（x）的图象关于x=1对称，
②f（x）的图象关于点（1，0）对称，
③f（x）的周期为4，
④方程f（x）=

1

2

在区间[0，2014]上有1008个根． 
一定成立的有：

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）是定义在R上的奇函数，可知f（-x）=-f（x）；f（x）=f（2-x），可变换得f（1-x）=f（1+x），
f（2+x）=f（-x）=-f（x）
即f（x+4）=f（x）可判断③①正确，
根据函数的性质可知f（x）与y=

1

2

在一个周期内有2个交点，
503个周期，共503×2个，而[0，2]上有2个，可知总共有1008个，④正确

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
∵f（x）=f（2-x）
∴f（1-x）=f（1+x），f（2+x）=f（-x）=-f（x）
即f（x+4）=f（x）
周期为4，对称轴x=1，
根据函数的性质可知f（x）与y=

1

2

在一个周期内有2个交点，
2014÷4=503×4+2
所以交点个数为503×2+2=1008，
故答案为：①③④

点评：本题考察了函数性质，方程的根与函数的交点问题，综合性较强，注意解析式的灵活运用．