Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，A=

π

3

．
（I 若|

AB

+

AC

|=2

3

，试判定△ABC的形状；
（II）若sinA+sin（B-C）=2sin2C，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I ）通过a=2，A=

π

3

，利用余弦定理得到a，b，c的关系式，通过|

AB

+

AC

|=2

3

，联立方程组，求出a，b，c即可判定△ABC的形状；
（II）利用两角差的正弦函数化简sinA+sin（B-C）=2sin2C，通过对cosC讨论，结合b²+c²-bc=4，求出b，c的值，即可求△ABC的面积．

解答：解：（I ）因为a=2，A=

π

3

．由余弦定理可得b²+c²-bc=4．又|

AB

+

AC

|=2

3

．
所以|

AB

+

AC

|²=12．即b²+c²+bc=12，所以

b2+c2-bc=4 b2+c2+bc=12

解得b=c=2．a=2，
所以三角形是正三角形．
（II）由sinA+sin（B-C）=2sin2C得sin（B+C）+sin（B-C）=2sin2C．
即sinBcosC=2sinCcosC．
当cosC=0时C=

π

2

，B=

π

6

，c=

4 3

3

，b=

2 3

3

；
当cosC≠0时，有sinB=2sinC，由正弦定理得b=2c．
联立方程组

b2+c2-bc=4 b=2c

解得b=

4 3

3

，c=

2 3

3

所以三角形的面积为S=

1

2

bcsinA=

2 3

3

．

点评：本题是中档题，考查余弦定理两角和与差的三角函数，在三角形中的应用，考查分类讨论思想，计算能力．