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在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=2,A=
π
3

(I 若|
AB
+
AC
|=2
3
,试判定△ABC的形状;
(II)若sinA+sin(B-C)=2sin2C,求△ABC的面积.
分析:(I )通过a=2,A=
π
3
,利用余弦定理得到a,b,c的关系式,通过|
AB
+
AC
|=2
3
,联立方程组,求出a,b,c即可判定△ABC的形状;
(II)利用两角差的正弦函数化简sinA+sin(B-C)=2sin2C,通过对cosC讨论,结合b2+c2-bc=4,求出b,c的值,即可求△ABC的面积.
解答:解:(I )因为a=2,A=
π
3
.由余弦定理可得b2+c2-bc=4.又|
AB
+
AC
|=2
3

所以|
AB
+
AC
|2=12.即b2+c2+bc=12,所以
b2+c2-bc=4
b2+c2+bc=12
解得b=c=2.a=2,
所以三角形是正三角形.
(II)由sinA+sin(B-C)=2sin2C得sin(B+C)+sin(B-C)=2sin2C.
即sinBcosC=2sinCcosC.
当cosC=0时C=
π
2
,B=
π
6
,c=
4
3
3
,b=
2
3
3

当cosC≠0时,有sinB=2sinC,由正弦定理得b=2c.
联立方程组
b2+c2-bc=4
b=2c
解得b=
4
3
3
,c=
2
3
3

所以三角形的面积为S=
1
2
bcsinA
=
2
3
3
点评:本题是中档题,考查余弦定理两角和与差的三角函数,在三角形中的应用,考查分类讨论思想,计算能力.
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=2,c=
2
,cosA=-
2
4

(1)求sinC和b的值;
(2)求cos(2A+
π
3
)的值.

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2
2

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3
x+2=0的两根,2cos(A+B)=1,则△ABC的面积为(  )

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2
,则B的大小为(  )

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