Question

设函数g（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2-bx（a，b∈R），在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．
（1）若方程f（x）=0有两个实根分别为-2和4，求f（x）的表达式；
（2）若g（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出f（x）=g'（x），再根据-2、4是方程f（x）=0的两个实数，由韦达定理建立方程组，解之即可；
（2）根据g（x）在区间[-1，3]上是单调减函数，得到函数g（x）在区间[-1，3]上恒有f（x）=g'（x）≤0，然后建立关于a和b的约束条件，而a²+b²可视为平面区域

a+b≥1 b-3a≥9

内的点到原点距离的平方，其中点（-2，3）距离原点最近，从而求出a²+b²的最小值．

解答：解：（1）根据导数的几何意义知f（x）=g'（x）=x²+ax-b
由已知-2、4是方程x²+ax-b=0的两个实数
由韦达定理，

-2+4=-a -2×4=-b

∴

a=-2 b=8

，f（x）=x²-2x-8（7分）
（2）g（x）在区间[-1，3]上是单调减函数，
所以在[-1，3]区间上恒有f（x）=g'（x）=x²+ax-b≤0，即f（x）=x²+ax-b≤0在[-1，3]恒成立
这只需满足

f(-1)≤0 f(3)≤0

即可，也即

a+b≥1 b-3a≥9

而a²+b²可视为平面区域

a+b≥1 b-3a≥9

内的点到原点距离的平方，其中点（-2，3）距离原点最近，
所以当

a=-2 b=3

时，a²+b²有最小值13．（14分）

点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及线性规划的应用等基础知识，考查灵活运用数形结合的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属于中档题．