Question

【题目】已知函数f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1恒成立，求整数a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）= ，f′（1）=﹣15，f（1）=﹣14，

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣14=﹣15（x﹣1），即y=﹣15x+1；

（2）解：令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，

∴g′（x）= ．

当a≤0时，∵x＞0，∴g′（x）＞0，则g（x）是（0，+∞）上的递增函数．

又g（1）=﹣a+2﹣2a﹣1=1﹣3a＞0，∴不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立；

当a＞0时，g′（x）= ．

令g′（x）=0，得x= ，∴当x∈（0， ）时，g′（x）＞0；当x∈（ ，+∞）时，g′（x）＜0．

因此，g（x）在（0， ）上是增函数，在（ ，+∞）上是减函数．

故函数g（x）的最大值为g（ ）= ≤0．

令h（a）= ．

则h（a）在（0，+∞）上是减函数，

∵h（1）=﹣2＜0，

∴当a≥1时，h（a）＜0，∴整数a的最小值为1．

【解析】（1）求出原函数的导函数，得到f′（1），进一步求出f（1），代入直线方程的点斜式，化简可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，求其导函数g′（x）= ．可知当a≤0时，g（x）是（0，+∞）上的递增函数．结合g（1）＞0，知不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立；当a＞0时，g′（x）= ．求其零点，可得g（x）在（0， ）上是增函数，在（ ，+∞）上是减函数．得到函数g（x）的最大值为g（ ）= ≤0．令h（a）= ．由单调性可得h（a）在（0，+∞）上是减函数，结合h（1）＜0，可得整数a的最小值为1．