Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-x2+ax-a（a∈R）．
（1）当a=-3时，求函数f（x）的极值；
（2）设g（x）=f（x）+f′（x）+ax²，若函数g（x）在区间（-1，1）有极值，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=-3时，求出导函数f′（x）的零点，然后判断导数在零点两侧的符号，由此可得极值情况；
（2）g（x）在区间（-1，1）有极值，即g′（x）=0在（-1，1）内有解，且在解的两侧导数异号；
（3）函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，即函数f（x）只有一个零点，用导数研究函数f（x）的单调性、极值，由零点存在的条件可得关于a的约束条件，由此可求其范围．

解答：解：（1）当a=-3时，f(x)=

1

3

x3-x2-3x+3，
∴f'（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）．令f'（x）=0，得 x₁=-1，x₂=3．
当x＜-1时，f′（x）＞0，则f（x）在（-∞，-1）上单调递增；
当-1＜x＜3时，f′（x）＜0，则f（x）在（-1，3）上单调递减；
当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）上单调递增；
∴当x=-1时，f（x）取得极大值为：f（-1）=-

1

3

-1+3+3=

14

3

；
当x=3时，f（x）取得极小值为：f(3)=

1

3

×27-9-9+3=-6．
（2）∵g(x)=

1

3

x3+ax2+(a-2)x，g′(x)=x2+2ax+a-2
问题转化为方程g′（x）=0在区间（-1，1）内有解，
∴g′（-1）•g′（1）＜0或

△=4a2-4(a-2)＞0 -1＜-a＜1 g′(1)=3a-1＞0 g′(-1)=-a-1＞0

，
解得a＜-1或a＞

1

3

，
故a的取值范围为：（-∞，-1）∪（

1

3

，+∞）．
（3）∵f'（x）=x²-2x+a，∴△=4-4a=4（1-a）．
①若a≥1，则△≤0，∴f'（x）≥0在R上恒成立，
∴f（x）在R上单调递增．∵f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，
∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
②若a＜1，则△＞0，
∴f'（x）=0有两个不相等的实数根，不妨设为x₁，x₂，（x₁＜x₂）．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=a．
当x变化时，f′（x），f（x）的取值情况如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∵

x

2 1

-2x1+a=0，
∴a=-

x

2 1

+2x1．∴f(x1)=

1

3

x

3 1

-

x

2 1

+ax1-a=

1

3

x

3 1

-

x

2 1

+ax1+

x

2 1

-2x1=

1

3

x

3 1

+(a-2)x1=

1

3

x1[

x

2 1

+3(a-2)]，
同理f（x₂）=

1

3

x2[

x

2 2

+3(a-2)]．
∴f(x1)•f(x2)=

1

9

x

1

x

2

[

x

2 1

+3(a-2)]•[

x

2 2

+3(a-2)]=

1

9

(x1x2)[(x1x2)2+3(a-2)(

x

2 1

+

x

2 2

)+9(a-2)2]
=

1

9

a{a2+3(a-2)[(x1+x2)2-2x1x2]+9(a-2)2}=

4

9

a(a2-3a+3)．
令f（x₁）•f（x₂）＞0，解得a＞0．
而当0＜a＜1时，f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，
故当0＜a＜1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，可导函数f（x）在点x₀处取得极值的充要条件是f′（x₀）=0，且f′（x）在x₀左右两侧异号．