Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD= ，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．
（1）求证：EF⊥平面BCF；
（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1，

又∵ ，∴AB=2，

∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3．

∴AB2=AC2+BC2．则BC⊥AC．

∵CF⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，

∴AC⊥平面BCF．

∵EF∥AC，

∴EF⊥平面BCF；

（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（ ），

则C（0，0，0），A（ ，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），

∴ =（﹣ ，1，0）， =（λ，﹣1，1），

设 =（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，

由 得 ，取x=1，则 =（1， ， ），

∵ =（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，

∴cos＜ ＞= = ．

∵ ，∴当λ=0时，cosθ有最小值为 ，

∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（ ），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为 ，此时点M与点F重合．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．