【题目】已知函数
(1)求函数的极值;
(2)求函数的单调区间;
(3)判断函数是否存在公切线,如果不存在,请说明理由,如果存在请指出公切线的条数
【答案】(1)当时,函数
无极值;当
时,函数
的极小值为
,无极大值. (2)当
时,递增区间为
和
,无递减区间;当
时,递增区间为
和
,递减区间为
和
.(3)存在,两条
【解析】
(1)求导后,对分类讨论,利用导数的可得结果;
(2)求导后,对分类讨论,利用导数的符号可得单调区间;
(3)设它们的公切线与切于
,与
切于
,利用导数的几何意义求出它们的切线,根据两条直线重合可得
,构造函数
,根据单调性和零点存在性定理可得结果.
(1),
,
当时,
,函数
在
上递减,此时函数无极值;
当时,由
,得
,由
,得
,
所以函数在
处取得极小值,极小值为
,无极大值,
综上所述:当时,函数
无极值;当
时,函数
的极小值为
,无极大值.
(2),定义域为
,
,
当,即
时,
,函数
的递增区间为
和
,无递减区间;
当,即
时,由
,得
,解得
或
,
由,得
,解得
或
,
所以函数的增区间为
和
,递减区间为
和
.
综上所述:当时,递增区间为
和
,无递减区间;
当时,递增区间为
和
,递减区间为
和
.
(3)函数存在两条公切线,
理由如下:
假设它们的公切线与切于
,与
切于
,
因为,
,
所以在点
处的切线方程为
,即
在点
处的切线方程为
,即
,
根据两条切线重合可得,消去
可得
,
令,则
,
所以在
和
上递增,
因为时,
,
时,
,所以函数
在
上有且只有一个零点,
因为时,
,
时,
,
所以函数在
上有且只有一个零点,
所以在
和
上各有一个实根,
所以它们的公切线有且只有两条.
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【题目】如图,椭圆W:的焦距与椭圆Ω:
+y2=1的短轴长相等,且W与Ω的长轴长相等,这两个椭圆的在第一象限的交点为A,直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA(O为坐标原点)垂直,l与Ω的另一个交点为C,l与W交于M,N两点.
(1)求W的标准方程:
(2)求.
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【题目】已知的三边长分别为
,
,
,M是AB边上的点,P是平面ABC外一点.给出下列四个命题:①若
平面ABC,则三棱锥
的四个面都是直角三角形;②若
平面ABC,且M是边AB的中点,则有
;③若
,
平面ABC,则
面积的最小值为
;④若
,P在平面ABC上的射影是
内切圆的圆心,则点P到平面ABC的距离为
.其中正确命题的序号是________.(把你认为正确命题的序号都填上)
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【题目】我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇:“今有望海岛,立两表齐、高三丈,前后相去千步,今后表与前表相直,从前表却行百二十三步,人目著地望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”(参考译文:假设测量海岛,立两根标杆,高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆的底部和岛的底部在同一水平直线上,从前标杆退行123步,人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步,人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少?岛与前标杆相距多远?)(丈、步为古时计量单位,三丈=5步).则海岛高度为
A. 1055步 B. 1255步 C. 1550步 D. 2255步
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱锥P-ABCD的体积为
,求该四棱锥的侧面积.
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【题目】已知函数(
为自然对数的底数),其中
.
(1)在区间上,
是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
(2)若函数的两个极值点为
,证明:
.
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【题目】甲、乙两人各射击1 次击中目标的概率分别三分之二和四分之三,假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率.
(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率.
(3)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击,问:乙恰好射击5次后被终止射击的概率是多少?
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